Histoire de PI

et son mystère …

[ π (Pi) à l’école ] [ Un peu d’histoire ] [ A quoi sert le calcul de Pi ? ]
[ Les Statistiques ] [ Quelques liens sur Pi ] [ Fichiers ] [ Programmes ]
[ Records mondiaux ]

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L’appellation Pi (p) vient du grec “peripheria” (perijeria) qui représente la circonférence d’un cercle. Pi est une énigme que nos ordinateurs intéressent et reste une histoire mathématique fabuleuse dans la mémoire des hommes (bien que cette dernière n’ait pas les capacités de nos ordinateurs). Écris il y a quelques années (1994) par intérêt personnel, je vous livre ici même et sans plus attendre, l’histoire de ce mystérieux nombre…  La salle du Palais de la Découverte à Paris vous présente les 704 premières décimales de Pi. En 1874, Williams Shanks calcula à la main les 707 premières décimales que le Palais de la Découverte de Paris recopia sur le plafond de la célèbre salle Pi. On découvrit en 1945 qu’à partir de la 528 ème, les décimales étaient fausses.

π (Pi) à l’école Qui de nous peut se vanter d’avoir une mémoire infaillible ? Déjà nos professeurs de collège nous enseignaient avec talent et méthodes (aussi barbares furent-elles…) certains moyens mnémotechniques nous permettant de mémoriser la suite incohérente qu’est le nombre Pi. Le premier texte, très connu, est cité par Beutel en 1913 :

(Texte français)

Que j’aime à faire connaître un nombre utile aux sages !
3. – 1 – 4 – 1 – 5 – 9 – 2 – 6 – 5 – 3 – 5

Immortel Archimède, artiste ingénieur,
8 – 9 – 7 – 9

Qui de ton jugement peut priser la valeur ?
3 – 2 – 3 – 8 – 4 – 6 – 2 – 6

Pour moi ton problème eut de pareils avantages
4 – 3 – 3 – 8 – 3 – 2 – 7 – 9

Tirez circonférence au diamètre, etcétéra.
5 – 0 – 2 8 – 8

Autre texte tout aussi connu :

(Texte français)

Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !
3. – 1 – 4 – 1 – 5 – 9 – 2 – 6 – 5 – 3 – 5

Glorieux Archimède, artiste ingénieux,
8 – 9 – 7 – 9

Toi de qui Syracuse aime encore la gloire,
3 – 2 – 3 – 8 – 4 – 6 – 2 – 6

Soit ton nom conservé par de savants grimoires !
4 – 3 – 3 – 8 – 3 – 2 – 7 – 9

Jadis, mystérieux, un problème bloquait
5 – 0 – 2 – 8 – 8

Tout l’admirable procédé, l’œuvre grandiose
4 – 1 – 9 – 7 – 1 – 6 – 9

Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.
3 – 9 – 9 – 3 – 7 – 5

O quadrature ! vieux tourment du philosophe !
1 – 0 – 5 – 8 – 2 – 0

Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez
9 – 7 – 4 – 9 – 4 – 4

Défié Pytagore et ses imitateurs.
5 – 9 – 2 – 3 – 0

Comment intégrer l’espace plan circulaire ?
7 – 8 – 1 – 6 – 4 – 0

Former un triangle auquel il équivaudra ?
6 – 2 – 8 – 6 – 2 – 0

Nouvelle invention : Archimède inscrira
8 – 9 – 9 – 8

Dedans un hexagone ; appréciera son aire
6 – 2 – 8 – 0 – 3 – 4

Fonction du rayon. Pas trop ne s’y tiendra :
8 – 2 – 5 – 3 – 4 – 2 – 1 – 1 – 7

Dédoublera chaque élément antérieur ;
0 – 6 – 7 – 9

Toujours de l’orbe calculée approchera ;
8 – 2 – 1 – 4 – 8 – 0

Définira limite ; enfin, l’arc, le limiteur
8 – 6 – 5 – 1 – 3 – 2 – 8

De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle !
2 – 3 – 0 – 6 – 6 – 4 – 7

Professeur, enseignez son problème avec zèle !…
0 – 9 – 3 – 8 – 4 – 4

Un peu d’histoire…

O. Neugebauer aurait déchiffré sur une tablette babylonienne datant de 5000 ans, le nombre Pi avec 5 décimales !… Le célèbre papyrus Rhind, vieux de 35 siècles affirme : “l’aire du cercle de diamètre 9 coudées est celle du carré de 8 coudées”. Étonnante affirmation pour l’époque ! Dès l’aube des temps, Pi ou le rapport de circonférence et du diamètre d’un cercle en intrigua plus d’un. Dans la version synodale protestante de la bible, on dit: “il fit aussi, en métal fondu, la grande cuve qui avait six coudées de diamètre et qui était complètement ronde; elle avait cinq coudées de haut et un cordon de trente coudées en mesurait la circonférence.” Donc l’immense vasque qui ornait le temple du roi Salomon mesurait trente unités de circonférence pour un diamètre de dix unités. Soit un rapport de trois très exactement (circonférence/diamètre) . Comment Dieu, grand mathématicien et créateur universel, eut pu admettre une erreur aussi monumentale dans un texte saint tel que la bible! Ainsi pour Dieu, Pi serait égal à 3.

Aux Indes, les seuls documents qui nous soient connus, les Siddhantas ou systèmes astronomiques, donnent en 380 après J. -C. la valeur “3+177/1250” ou “3.1416”, basées sur une numérotation à base 60 comme firent les anciens Grecs. Quant aux Chinois, dont le système de numérotation a toujours été décimal, ils calculèrent la valeur de Pi à partir d’un polygone de 192 côtés (en 294 après J. -C.).

Deux siècles plus tard avec un polygone de 3072 côtés et affirmèrent que Pi est compris entre 3,1415926 et 3,1415927. La précision sur la huitième décimale ne sera atteinte en Europe qu’au XIIème siècle. Beaucoup plus connus, grâce aux vestiges de la bibliothèque d’Alexandrie et au zèle culturel des trois premiers Ptolémée, sont les travaux des mathématiciens grecs des premier et second siècles avant J. -C. Ils semblent avoir été les premiers à poser le problème de la quadrature du siècle, c’est-à-dire construire un carré dont la surface est égale à celle d’un cercle donné (qui hantera les chercheurs jusqu’en 1882). Antiphon, à la même époque, énoncera le principe suivant: un polygone inscrit dans un cercle et dont on double à chaque fois le nombre de côtés finit par s’identifier au cercle lui-même, et donc, sa surface est calculable par quadrature comme celle d’un polygone (*). * On sait maintenant que c’est faux par la notion de limite.

Le mathématicien français J. H. Lambert (1728-1777) démontra en 1768 que Pi est irrationnel (Si tg(π/4) = 1 est rationnel alors π/4 est irrationnel) puis Le Gendre (1752-1833) montra que Pi au carré est aussi irrationnel… En 1882 Lindemann démontrera la transcendance du nombre Pi et donc l’impossibilité de la quadrature du cercle. Il aura quand même fallu attendre 25 siècles pour démontrer que le cercle ne peut se substituer complètement à un polygone !…

En Europe, c’est au IIIème siècle avant J. -C. que commença, à l’initiative d’Euclide (IIIème siècle avant J. -C.) et d’Archimède (287-212 avant J.-C.) un véritable travail mathématique sur le cercle. Archimède proposa dans un petit traité la première valeur approchée significative de Pi, π=22/7 qui restera longtemps en usage, résultat qui est une valeur approchée au 2500ème, remarquable pour l’époque. Archimède utilisa deux polygones réguliers de 96 côtés pour obtenir son approximation! C’est l’approfondissement de la même idée qui fera dire à Kepler (1571-1630) et Galilée (1564-1642), au XVIIème siècle, que “le cercle est un polygone à une infinité de côtés”. (Voir aussi Archimedes’ Constant)

Au XVIème siècle, la course aux décimales commença. Adrian Anthoniszoon (1527-1607), Hollandais, donne Pi avec 6 décimales exactes, Pi = 355/113 qui sera en fait publié par son fils Adrian Métius en 1625 et qui expliqua que son père avait utilisé la méthode d’Archimède : 333/106<π<377/120 et avait fait la moyenne des numérateurs et des dénominateurs. Le français Viète (1540-1603) en 1593 en trouve 9 à l’aide d’un polygone de 393216 côtés. La même année, le Hollandais Adrien Van Rooman (1561-1615) parvient à 15 décimales. Trois ans après un autre Hollandais Ludolph Van Ceulen (1539-1610) ou “Ludolph de Cologne” parvient à 20 décimales puis 35 (vers 1600) et à la gloire. En Allemagne Pi porte aussi le nom de “nombre de Ludolph”. John Wallis (1616-1703), à qui l’on doit, entre autres, le signe de multiplication “x”, les signes “<” et “>” d’inégalité, et surtout le signe de l’infini, en font un célèbre précurseur des mathématiques d’aujourd’hui. J. Wallis publia ses recherches sur Pi en 1655 et obtint une expression sous forme d’une fraction continue :

π/2 = 2.2.4.4.6.6.8.8…./1.3.3.5.5.7.7.9….

Newton (1642-1727) étudia l’œuvre de Wallis durant l’hiver 1664-65 et la compléta. C’est à partir de là que Leibniz obtint sa célèbre formule d’arctangente sous forme de série… Il y eut une période sombre ou Pi fut mêlé à l’argent et au péché originel … heureusement Pi ne devait pas souffrir de ces aberrations. Avec le calcul différentiel, le XVIIème siècle commence une nouvelle étape basée sur les séries, les calculs devenant plus faciles avec les logarithmes. Abraham Sharps (1651-1742) arriva à 72 décimales, John Machin (1680 -1752) publiera 100 décimales en 1706 à partir de la différence entre deux arcs tangente. En 1717 le Français De Lagny (1660-1734) en donne 127, record battu seulement en 1794 par Vega (1754-1802) avec 140 décimales et la découverte que la 113ème décimale donnée par Be Lagny, un 8 est fausse, c’est un 7! Dès le XVIIIème siècle, Chinois et Japonais participent à la chasse aux décimales. Le XIXème siècle pulvérisera les records… À partir du XVIIIème siècle, les progrès faits en mathématiques conduisirent à de nouvelles méthodes de calcul. On a découvert de nouvelles formules grâce à la trigonométrie telle celle de Gregory (en 1670) et de Leibniz (en 1673) :

arctg(x) = x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+x^9/9-x^11/11+… à l’infini…

Les travaux de Gregory (1638-1675), professeur à l’université d’Édimbourg, sont importants, il est le premier à tenter de démontrer que la quadrature du cercle est impossible. Gregory développera la formule ci-dessus et Leibniz sera le premier à l’adapter pour Pi sous une forme plus simple en remplaçant “x” par “1” et qui s’écrira :

arctg(1) = π/4 = 1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+… à l’infini…

En août 1949, le professeur John Von Neumann utilisa un des premiers ordinateurs: l’”ENIAC”, pour calculer Pi avec 2037 décimales. Les calculs prirent un weekend ou un peu plus de 70 heures, utilisant les efforts de 4 “ENIAC” (trente tonnes d’électronique) , et des ingénieurs qui assurèrent un suivit en continu du calcul. Le calcul était basé sur une formule utilisée par J. Machin en 1706 :

π = 16 arctg(1/5) – 4 arctg(1/239)

Cette formule permit à Shanks de déterminer à la main, 707 décimales (seulement les 528 premières étaient exactes). Grâce à la formule d’Euler (1707-1783), développement astucieux, Euler avait réussi à calculer à la main 20 décimales en 1 heure :

π = 20 arctg(1/7) + 8 arctg(3/79)

Une méthode, mise au point en 1975, permet aux puissants ordinateurs de calculer des centaines de millions de décimales en quelques heures. Aujourd’hui plusieurs milliards de décimales sont connues… Un pas très important a été effectué grâce à Euler qui démontra la relation entre Pi et “e” (base des logarithmes népériens) :

e ^(iπ) = -1 où i = 1^-1

… Qui exprime “peut-être” que “e” et “π” ne sont des solutions d’aucune équation algébrique.

À quoi sert le calcul de Pi

Mais me direz-vous, à quoi sert ce long calcul si ce n’est la curiosité maladive des mathématiciens de tous les temps ? Il existe quelques raisons intéressantes :

• Les méthodes de calculs de Pi ont souvent permis de nouveaux développements mathématiques et ainsi de découvrir de nouvelles techniques ;
• La précision du nombre Pi, avec un grand nombre de décimales, permet tout simplement (hic…! ), de contrôler la bonne marche des ordinateurs ;
• La course aux décimales de Pi permet aux ordinateurs de grande puissance de tester leurs capacités et d’organiser des championnats internationaux.

Après l’ENIAC en 1949, voici quelques records :

• En novembre 1954 et janvier 1955, le NORC, de la marine américaine, en Virginie, calcula Pi avec 3089 décimales en 13 minutes.
• En mars 1957 le centre de calcul Ferranti, de Londres donne 10021 décimales en 33 heures avec une erreur à la 7480ème.
• À Paris, en juillet 1958, une IBM 704 parvint à 10000 décimales en 1 heure et 40 minutes.
• En juillet 1959 une même machine du CEA à Paris donna 16167 décimales en 4 heures et 20 minutes.
• Daniel Shanks et Wrench adoptent la formule de Störmer :

π/64 = 3/4 arctg(1/8) + 1/8 arctg(1/57) + 1/16 arctg(1/239)

… qui donnera 100265 décimales en 8 heures et 43 minutes.

• Une IBM 7030 en février 1966, a donné 250000 décimales
• Puis, en février 1967 une CDC 6600, 500000 décimales en 28 heures 10 minutes (d’après la formule de Störmer).
• En 1974 J. Guilloud et M. Bouyer, calculèrent 1000000 de décimales avec une CDC 7600. Le calcul a demandé 22 heures 11 minutes et 1 heure 07 minutes pour la conversion en décimales. Il a été effectué à l’aide de la formule de Gauss :

π/64 = 3/4 arctg(1/18) + 1/2 arctg(1/57) – 5/16 arctg(1/239)

La vérification a été faite au CERN en utilisant la formule de Störmer.

• En août 1996 Darry Hills et son équipe du MIT (Massachusetts Institute of Technology) aux États Unis mettaient au point un supercalculateur ayant les capacités de mille milliards de flops (1 flop = 1 opération arithmétique/seconde) , en comparaison des 5000 flops de l’ENIAC voir des un milliard de flops du CRAY 3, … et on attend mille fois mieux pour la fin du siècle (… du millénaire…)!
• On a bien sûr permis aux mathématiques modernes d’évoluer considérablement grâce aux calculateurs puissants qui permettent des calculs très rapides et d’en trouver des applications dans la recherche, l’industrie, la météorologie, l’astrologie, etc.

Les STATISTIQUES…

Les statistiques ? On en fait pour les jeux de casinos, le LOTO , tout le monde en fait alors pourquoi pas avec Pi ! Mais à quoi cela va servir puisque nous savons que Pi est un nombre transcendant ? Des questions se sont posées dès que nous avons réussi à calculer “p ” ou “e” ou encore “c” avec un grand nombre de décimales. Si on ne peut mettre en doute leur transcendance, les statistiques pourront peut-être trouver un petit quelque chose qui éveillera en nous la petite étincelle endormie … et c’est si facile avec un ordinateur …

Et pour ne plus vous laisser dans le doute, voici pour le premier million de décimales ce qu’on peut dire :

• Des 0 il y en a 99959
• Des 1 il y en a 99758
• Des 2 il y en a 100026
• Des 3 il y en a 100226
• Des 4 il y en a 100230
• Des 5 il y en a 100359
• Des 6 il y en a 99548
• Des 7 il y en a 99800
• Des 8 il y en a 99985
• Des 9 il y en a 100106
  —
• Première constatation, la répartition des chiffres est à peu près équitable.
• Pour ce même million de chiffres, la valeur moyenne de la somme des carrés des écarts est 900,000 très exactement.
• Aucune suite n’a été trouvée sur ce petit million …
• Pi n’est pas un nombre aléatoire, tout du moins on ne le présente pas tel quel (puisqu’on peut le calculer) , néanmoins pourquoi ne pas utiliser ce million de chiffres comme font certains jeux de simulation (méthodes de Monté-Carlo) qui utilisent des tables de chiffres aléatoires …

Enfin, arrêtons là nos calculs, car des pages pourraient être remplies et vous n’en sauriez pas plus ! Mais Pi garde encore beaucoup de secrets à découvrir, c’est un nombre irrationnel, ça n’est pas le quotient de deux nombres entiers, aucune relation n’existe entre Pi et les puissances de Pi, aucune suite n’existe sur l’apparition des décimales, même sur des millions de décimales… On sait que c’est la seizième lettre de l’alphabet grec ( qui correspond au “p” français), on sait aussi que la millième décimale est un 9, la trois millième est un 1, la dix millième un huit, la cent millième un six… (utile pour contrôler vos calculs) . Bref pas grand-chose n’est connu aujourd’hui sur Pi dont la banalité surprend toujours les mathématiciens…

Quelques liens sur Pi

1. TOUT L’UNIVERS DE PI ET LES PI-PHÉNOMÈNES (http://www.pi314.net)
2. Kanada Laboratory home page (http://pi2.cc.u-tokyo.ac.jp/)
3. Computing Pi (http://www.geocities.com/hjsmithh/Pi/index.html)
4. La valeur du nombre Pi (http://www.nombrepi.com)
5. Page de Stu des meilleurs programmes de calcul de Pi (http://home.istar.ca/~lyster/pi.html)
6. Si on calcule la valeur numérique du premier verset de la Bible, on obtient encore la valeur du nombre pi ?? (http://www.amyisrael.co.il/pi/)
7. Pi, implémentation d’un algorithme simple (http://www-info.enst-bretagne.fr/~brouty/Maths/PI/pialgo.html)
8. Peripheria – Qu’est-ce que Pi ? (http://www.peripheria.net/def.php)
9. Le nombre Pi (http://www.col-camus-soufflenheim.ac-strasbourg.fr/Page.php?IDP=80&IDD=0)
10. Bienvenue sur la page consacrée à Pi (http://perso.wanadoo.fr/didier.pothet/pi.html)
11. The Ridiculously Enhanced Pi Page #2 (http://www.exploratorium.edu/learning_studio/pi/)
12. Pi-Search (http://www.aros.net/~angio/pi_stuff/piquery.html” target=“_top)
13. PI is irrational (http://www.mcs.csuhayward.edu/~malek/Mathlinks/Pi.html)
14. Search for Intelligence in Pi (http://members.aol.com/spoons1000/pi/index.html)
15. Dr. Math Answers Questions About Pi (http://forum.swarthmore.edu/dr.math/tocs/pi.middle.html)
16. PI Calculations (http://www.colab.sfu.ca/PiDay/3_14/Pi1.html)
17. Encyclopédie des Suites Entières (http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/Seis.html)
18. Plus de liens ? Voir aussi ce lien. (http://membres.lycos.fr/riemannzeta/liens.htm)

Fichiers

1. 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592.com
   (une page Web qui donne un million de décimales de pi…)
2. 10 Millions de décimales de Pi
   (Disponible en format dat 5,6Mo, doc 6.4Mo et pdf 9.1 Mo et 1958 pages !)
3. 64 Millions de décimales de Pi (34.9 Mo)
4. Obsession de Pi (1996) (Texte très intéressant)

Programmes

1. PIFast Le plus rapide du moment sur un PC (http://numbers.computation.free.fr/Constants/PiProgram/pifast.html)
2. PI AGM (Windows, Unix, Linux, Mac, Beos, etc.) sources incluses (http://www.2xtreme.net/~hazeghi/pi/)
3. PIF : Logiciel et code source en pascal (assez lent)
4. PI32F : Autre logiciel et code source en assembleur (130,000 décimales max.)
5. Voir aussi : http://www.geocities.com/hjsmithh/download.html#XPCalc

Records du monde

1. Babyloniens, 1 décimale (3.125 ou 3+1/8) (2000 BC)
2. Égyptiens, 1 décimale (3.16045 ou 16/9 au carré) (2000 BC)
3. Chine, 0 décimale (3) (1200 BC)
4. Bible, 0 décimale (3) (550 BC)
5. Archimède, 3 décimales (250 BC)
6. Ptolemé, 3 décimales (150)
7. Liu Hui, 5 décimales (263)
8. Tsu Chung Chi, 7 décimales (480?)
9. Al-Kashi, 14 décimales (1429)
10. Romanus, 15 décimales (1593)
11. Van Ceulen, 35 décimales (1615)
12. Sharp, 71 décimales (1699)
13. Machin, 100 décimales (1706)
14. De Lagny, 112 décimales (1719)
15. Rutherford, 152 décimales (1824)
16. Strassnitzky and Dase, 200 décimales (1844)
17. Clausen, 248 décimales (1847)
18. Lehman, 261 décimales (1853)
19. Rutherford, 440 décimales (1853)
20. Shanks, 527 décimales (1874)
21. Ferguson, 710 décimales (janvier 1947)
22. Ferguson et Wrench, 1,120 décimales (1949)
23. Reitwiesner et al. (ENIAC), 2,037 décimales (1949)
24. Nicholson et Jeenel, 3,092 décimales (1954)
25. Felton, 7,480 décimales (1957)
26. Genuys, 10,000 décimales (janvier 1958)
27. Shanks and Wrench, 100,265 décimales (1961)
28. Guilloud et Bouyer, 1,001,250 décimales (1973)
29. Miyoshi et Kanada, 2,000,036 décimales (1981)
30. Tamura et Kanada, 8,388,576 décimales (1982)
31. Kanada, Yoshino et Tamura, 16,777,206 décimales (1982)
32. Gosper, 17,526,200 décimales (1985)
33. Bailey. 29,360,111 décimales (janvier 1986)
34. Kanada et Tamura, 33,554,414 décimales (septembre 1986)
35. Kanada et Tamura, 67,108,839 décimales (octobre 1986)
36. Kanada et. al, 134,217,700 décimales (janvier 1987)
37. Kanada et Tamura, 201,326,551 décimales (janvier 1988)
38. Chudnovskys, 480,000,000 décimales (mai 1989)
39. Chudnovskys, 525,229,270 décimales (décembre 1989)
40. Kanada et Tamura, 536,870,898 décimales (juillet 1989)
41. Kanada et Tamura, 1,073,741,799 décimales (novembre 1989)
42. Chudnovskys, 2,260,000,000 décimales (août 1991)
43. Chudnovskys, 4,044,000,000 décimales (mai 1994)
44. Kanada et Takahashi, 6,442,450,938 décimales (octobre 1995)
45. Kanada et Takahashi, 51,539,600,000 décimales (6 juillet 1997)
46. Kanada et Takahashi, 68,719,470,000 décimales (5 avril 1999)
47. Kanada et Takahashi, 206,158,430,000 décimales (septembre 1999)
48. Kanada, Ushiro, Kuroda, 1,241,100,000,000 décimales (6 décembre 2002)

Calcul du n’ième chiffre binaire de Pi

1. Bailey, Borwein et Plouffe (novembre 1995) 40,000,000,000 (hexa 921C73C6838FB2)
2. Bellard (juillet 1996) 200,000,000,000 (hexa 1A10A49B3E2B82A4404F9193AD4EB6)
3. Bellard (octobre 1996) 400,000,000,000 (hexa 9C381872D27596F81D0E48B95A6C46)
4. Percival (janvier 1998) 800,000,000,000 (hexa 3E6FBDAC38A97197785ED)
5. Bellard (septembre 1997) 1,000,000,000,000 (hexa 87F72B1DC9786914B15B16FE9218B042A3D410)
6. Projet PIHEX (21 août 1998) 5,000,000,000,000 (hexa 07E45733CC790B5B5979)
7. Projet PIHEX (9 février 1999) 40,000,000,000,000 (hexa A0F9FF371D17593E0)
8. Projet PIHEX (11 septembre 2000) 1,000,000,000,000,000 (hexa E6216B069CB6C1D3)

Dernière mise à jour, le 12 juillet 2005